Сфагновые болота

Сфагновые болота, обычно верховые болота с почти сплошным покровом из мхов рода сфагнум, образующих сфагновый торф. С. б. часто выпуклой формы, так как сфагнумы лучше растут в центре болота, где слабее минерализация воды. Преобладают в умеренных широтах лесной и лесотундровой зон.

Сфагнум

Сфагнум (Sphagnum), род сфагновых, или торфяных (белых), мхов. Включает 320 видов; в СССР 42 вида. Преимущественно болотные мхи, произрастающие густыми плотными скоплениями, образующими крупные подушки или сплошные ковры на сфагновых болотах; реже С. встречаются во влажных лесах. Прямостоячий (высотой 10—20 см) мягкий стебель с пучковидно расположенными ветвями и однослойные листья С. содержат большое количество мёртвых водоносных (гиалиновых) клеток с порами, легко впитывающих воду, что обусловливает высокую влагоёмкость С. и способствует быстрому развитию верховых болот в местах, где появляются эти мхи. Стебли С. ежегодно в нижней части отмирают (рост стебля продолжают верхушечные ветви), образуя торф. Распространены преимущественно в тундровой и лесной зонах Северного полушария; в Южном полушарии встречаются высоко в горах, реже на равнинах умеренного пояса.

Сфакс

Сфакс, город на восточном побережье Туниса, в заливе Габес. 100 тыс. жителей (1973). Промышленно-транспортный и административный центр вилайета Сфакс. Порт (грузооборот 3,8 млн. т в 1974), главным образом по вывозу фосфоритов. Узел шоссейных дорог. Ж.-д. станция. Аэропорт. Предприятия текстильной, металлообрабатывающей, пищевой и кожевенно-обувной промышленности. Крупный завод по производству суперфосфата. ТЭС. Основан в 9 в. на месте древнего г. Тапарура, известного в римскую эпоху. Среди памятников архитектуры—остатки городских стен (с 9 в.), дворец Дар-Си-Али-Нури (9 в.; ныне музей народного искусства), Большая мечеть (849). Новый город (севернее Старого С.) с 1944 развивается как регулярный город-сад. Археологический музей.

Сфалерит

Сфалерит (от греч. sphalerós — обманчивый), цинковая обманка, минерал из класса сульфидов, химический состав ZnS (67,1% Zn и 32,9% S). Изоморфные примеси: Fe (до 26%), Mn, Cd, Ga, Ge, In, Co, Hg. Богатые Fe разновидности называются марматитом, бесцветные и слабоокрашенные — клейофаном. Структура С. — плотнейшая кубическая упаковка из атомов S, в тетраэдрических пустотах которой находятся атомы Zn. Гексагональная модификация ZnS называется вюртцитом. Некоторые природные С. представлены чередованием кубических и гексагональных политипных разновидностей. Встречается в виде зернистых агрегатов, часто образует тетраэдрические или додекаэдрические кристаллы. С., не содержащий примесей, бесцветен; окраска от коричневой до чёрной обусловлена содержанием Fe; при малых количествах Fe зеленовато-жёлтая окраска связана с Cd, красная — с Мn, Cu и Ag, с In и Tl. Блеск — алмазный. Твёрдость по минералогической шкале 3,5—4,0; плотность 3900 — 4100 кг/м3. Обнаруживает пьезо и пироэлектрические свойства. С. образуется в гидротермальных месторождениях (вместе с галенитом, пиритом, халькопиритом, арсенопиритом, кварцем, кальцитом, баритом, доломитом), а также в осадочных месторождениях. В зоне окисления переходит в сульфат цинка (госларит) и смитсонит. С. — основная цинковая руда (см. Полиметаллические руды).

А. С. Марфунин.

"Сфатул церий"

"Сфатул цэрий" ("Совет края", "Совет страны"), контрреволюционный орган бессарабских помещиков и буржуазии. Частично ( ) сформирован на так называемом Военно-молдавском съезде, а преобладающая часть ( ) подобрана по личному усмотрению лидеров националистов. Открытие состоялось 21 ноября (4 декабря) 1917. Председателем "С. ц." был эсер И. К. Инкулец, вицепредседателем. П. Н. Халиппа; исполнительный орган — Совет генеральных директоров (Директориат); издавалась газета "Сфатул цэрий". Основной целью "С. ц." была ликвидация власти Советов в Бессарабии и сохранение буржуазно-помещичьего строя. 2(15) декабря 1917 руководители "С. ц." объявили Бессарабию "Молдавской народной республикой", а себя "верховной властью". Они обратились за помощью к западным державам, которые рассматривали Бессарабию как плацдарм для борьбы против Советской страны. При содействии стран Антанты в Бессарабию в декабре 1917 вторглись войска королевской Румынии. 27 марта (9 апреля) 1918 "С. ц." принял решение об условном "присоединении" к Румынии. Советское правительство в ноте от 18 апреля 1918 указало, что правительство Румынии нарушило соглашение 1918 об эвакуации из Бессарабии (см. Советско-румынские соглашения). 27 ноября (10 декабря) 1918 "С. ц." объявил о присоединении Бессарабии к Румынии на заседании, в котором приняло участие менее 25% состава. Часть депутатов заявила о незаконности этого решения. Аннексия Бессарабии Румынией никогда не признавалась Советским правительством.

Лит.: Борьба трудящихся Молдавии против интервентов и внутренней контрреволюции в 1917—1920 гг., Сб. документов и материалов, Киш., 1967; Предательская роль "Сфатул Цэрий", Киш., 1969.

Сфацеляриевые

Сфацеляриевые (Sphacelariales), один из 113 порядков бурых водорослей. 14 родов, включающих около 50 видов. Обитают в морях. Слоевища кустистые, высотой 1—20 см, ветви цилиндрические, растут посредством деления крупной верхушечной клетки. Размножение бесполое и половое.

Сфексы

Сфексы (Sphex), род семейства роющих ос. Длина тела 12—30 мм. Взрослые С. кормятся на цветках. Личинок выкармливают парализованными кузнечиками, сверчками, кобылками и др. Самка С. роет норку в земле, затем отправляется на охоту. Насекомых парализует уколами жала в грудные нервные узлы. На первую жертву в норке откладывает яйцо.

Заполнив норку пищей, оса запечатывает её и начинает строить новую. Парализованные насекомые остаются живыми до 40 суток. Около 250 видов, распространены широко; в СССР около 50 видов. Практическое значение С. невелико; один из видов — S. aegyptiacus, обычно следуя за перелётной саранчой, частично уничтожает этих вредных насекомых.

Сфен

Сфен (от греч. sph n — клин; название связано с формой кристаллов С.), минерал, титансодержащий силикат CaTiSiO5. См. Титанит.

Сфеноидит

Сфеноидит (от греч. sphēnoeid s — клиновидный), воспаление основной, или клиновидной, пазухи (см. Придаточные пазухи носа). Одна из форм синуитов.

Сфенофиллы

Сфенофиллы (Sphenophyllales), порядок (или класс) вымерших членистостебельных растений; то же, что клинолистные. От других членистостебельных отличаются отсутствием сердцевинной полости в тонком длинном одревесневшем стебле и листовыми пластинками с веерным жилкованием. Спорангии собраны в гомо- и гетероспоровые стробилы, разнообразные по строению. С. более характерны для тропических флор.

Сфера действия тяготения

Сфера действия тяготения небесного тела, область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел. Это понятие может быть уточнено в зависимости от рассматриваемой задачи. Так, при изучении движения комет вне Солнечной системы С. д. т. Солнца называют область, в которой силы притяжения звёзд настолько малы по сравнению с силой притяжения Солнца, что ими можно пренебречь. При изучении движения комет, других малых тел, а также космических зондов внутри Солнечной системы рассматривают С. д. т. планет. Если такое тело находится внутри С. д. т. какой-либо планеты, то его движение целесообразно изучать в системе координат, связанной с этой планетой; притягивающее же действие Солнца учитывать как возмущение (см. Небесная механика). При нахождении С. д. т. планеты притяжением всех других планет пренебрегают.

С. д. т. планеты определяется следующим образом. Если R есть ускорение, сообщаемое некоторому телу Солнцем в его гелиоцентрическом (отнесённом к центру Солнца) движении, а F — возмущающее ускорение со стороны планеты; если, с другой стороны, R1 есть ускорение, сообщаемое телу планетой в её планетоцентрическом движении, а F1 — возмущающее ускорение, вносимое в это движение притяжением Солнца, то С. д. т. планеты является область, в которой выполняется неравенство: F1/R1< F/R. За пределами этой области выгоднее за основу принимать гелиоцентрическое движение. С. д. т. планет ограничены поверхностями, по форме близкими к сфероиду, центр которого совпадает с центром планеты, а полярная ось направлена к Солнцу. Полярный радиус rр и экваториальный радиус re этого сфероида определяются формулами:

; ,

где r — радиус-вектор планеты, а m — её масса в долях массы Солнца. Так как re = 1,15 rr, а r меняется очень мало, то практически за С. д. т. планеты принимают планетоцентрическую сферу с радиусом

,

где а — большая полуось орбиты планеты.

Величины r, выраженные в астрономических единицах, приведены в таблице.

Сферы действия тяготения и планет

Планеты

р, а. е.

Планеты

р, а. е.

Меркурий…… Венера..………

Земля..………. Марс...………..

0,001

0,004

0,006

0,004

Юпитер……. Сатурн……..

Уран..………

Нептун……..

0,322

0,364

0,346

0,580

Для Плутона r = 0,22, но вследствие значительного изменения радиуса-вектора r радиус С. д. т. колеблется от 0,18 до 0,30 а. е.

При анализе движения космических аппаратов, направляемых к Луне, используют понятие С. д. т. Луны, определяемое аналогичным образом. При этом сопоставляется действие на космический аппарат со стороны Луны и Земли. Величина r для С. д. т. Луны приближённо равна 66 тысяч км.

Лит. см. при ст. Небесная механика.

Сфера (матем.)

Сфера (математический), замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра С.). Отрезок, соединяющий центр С. с какой-либо её точкой (а также его длина), называется радиусом С. Площадь поверхности С. S = 4pR2, где R — радиус С. Часть пространства, ограниченная С. и содержащая её центр, называется шаром; объём шара V = 4/3pR3. С точки зрения аналитической геометрии С. является центральной поверхностью 2-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе координат имеет вид (х – а)2 + (у b)2 + (z – c)2 = R2,

здесь а, b, с — координаты центра С. О геометрии и тригонометрии на С. см. Сферическая геометрия и Сферическая тригонометрия.

Сфера материального производства

Сфера материального производства, включает совокупность отраслей материального производства, в которых создаются материальные блага, удовлетворяющие определённые потребности человека, личные или общественные. Различия между С. м. п. и непроизводственной сферой носят принципиальный характер. Чёткое отграничение отраслей С. м. п. от других видов деятельности необходимо для правильного определения объёма совокупного общественного продукта и национального дохода.

Национальный доход производится в отраслях материального производства. В социалистических странах национальный доход исчисляется на основе данных о производстве в отраслях С. м. п. Расходы по содержанию непроизводственной сферы формируются за счёт прибавочного продукта, созданного трудом работников С. м. п.: во-первых, через государственный бюджет (например, для таких видов деятельности, как просвещение, здравоохранение и управление); во-вторых, за счёт личных доходов трудящихся, которые в обмен на часть своего дохода получают особую потребительную стоимость — услугу.

Труд работников, занятых в С. м. п., является производительным трудом.

Советская статистика в состав С. м. п. включает промышленность, сельское хозяйство и лесное хозяйство, строительство, транспорт и связь (по обслуживанию материального производства), торговлю и обществ. питание, материально-техническое снабжение и сбыт, заготовки и прочие отрасли материального производства (издательское дело, киностудии, предприятия звукозаписи, проектные организации, заготовка металлолома и утильсырья, заготовка дикорастущих растений, плодов, грибов, семян, трав и их первичная обработка, охотничье хозяйство).

В других социалистических странах классификация отраслей С. м. п. имеет некоторые особенности. В основном они связаны с отнесением к материальному производству таких видов деятельности, которые для потребителей являются услугой, но обладают характерными чертами производительного труда. Так, в некоторых социалистических странах к С. м. п. относят не только грузовой, но и пассажирский транспорт, а также связь по обслуживанию населения. Поэтому для сопоставимости данных о производстве, исходя из практических соображений, Классификация отраслей народного хозяйства стран — членов СЭВ, принятая в 1966, включает в материальное производство также пассажирский транспорт и связь в целом.

Особое место занимает наука, которая в условиях научно-технической революции становится важнейшим производственным фактором, непосредственной производительной силой. Научная деятельность — сфера духовной деятельности, однако основные её достижения внедряются в производство, изменяя качественно и количественно состав средств производства, обеспечивая тем самым рост производительных сил общества. К С. м. п. относится лишь часть научной деятельности, труд работников которой непосредственно воплощается в материальных благах: конструкторские и проектные организации, комплексные и отраслевые станции сельского хозяйства, экспериментальные и опытно-производственные станции при научных учреждениях, выпускающих товарную продукцию, опытные промышленные предприятия, а также ряд научных учреждений, непосредственно обслуживающих произв. деятельность. Они распределены по соответствующим отраслям С. м. п., например биостанции и биолаборатории, обслуживающие сельское хозяйство, лесные почвенные лаборатории, проектные и изыскательские организации по обслуживанию строительства, организации по глубокому разведочному бурению на нефть и газ.

Буржуазная экономическая наука не проводит разграничений между С. м. п. и непроизводственной сферой. Поэтому в капиталистических странах национальный доход исчисляется как сумма доходов населения, полученная в обеих сферах деятельности, причём производительным считается труд военнослужащих, полицейских, правительств, чиновников, деятельность религиозных организации. Такая классификация позволяет скрывать эксплуататорский характер социальной структуры общества.

Состав отраслей в народном хозяйстве не является постоянным. Развитие материального производства, технического прогресса и общественного разделения труда приводит к образованию новых отраслей народного хозяйства, к изменению соотношений между С. м. п. и непроизводственной сферой.

Лит.: Маркс К., Теории прибавочной стоимости (IV том "Капитала"), Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 26, ч. 1; Кваша Я. Б., О границах материального производства, "Уч. зап. по статистике", 1961, т. 6; Медведев В. А., Общественное производство и сфера услуг, М., 1968; Гурьев В. И., Классификация отраслей народного хозяйства СССР, М., 1971.

Ю. Л. Селиванов.

Сфера (область действия)

Сфера (от греч. spháira — шар), 1) замкнутая поверхность. 2) Область действия, пределы распространения чего-либо (например, сфера действия тяготения). 3) Обстановка, среда, общественное окружение. См. также Сфера материального производства, Сфера обслуживания.

Сфера обслуживания

Сфера обслуживания, совокупность отраслей народного хозяйства, продукция которых выступает в виде определённой целесообразной деятельности (услуг).

С. о., согласно делению, принятому в планировании и статистике СССР, включает торговлю, общественное питание и отрасли непроизводственной сферы (за исключением отраслей науки, научного обслуживания и управления). Часть услуг население получает в порядке заказов у отдельных граждан. С. о. в СССР составляет примерно часть общего национального производства материальных благ и услуг (в 1973 соответственно 89,9 млрд. рублей и 850,2 млрд. рублей). Доля С. о. в общем фонде потребления населением СССР материальных благ и услуг возросла с 29,6% в 1960 до 33,7% в 1974, а занятых (в общем количестве занятых в народном хозяйстве) — с 17,1% в 1960 до 23,7% в 1974. Значительный рост С. о. объясняется структурными сдвигами в составе общественных потребностей. По мере роста материального и культурного уровня жизни народа потребности в услугах образования, культуры, здравоохранения растут относительно быстрее совокупности остальных потребностей населения в силу действия объективного экономического закона возвышения потребностей (см. Возвышения потребностей закон). Увеличивается и доля расходов на платные услуги в потребительских затратах населения. По мере повышения уровня экономического развития страны на долю С. о. приходится возрастающая часть ресурсов общества, продукция её играет всё более значительную роль в потреблении населения. С. о. растет во всех социалистических странах. Та же тенденция характерна и для развитых капиталистических стран. Так, в США в 1950 на долю услуг приходилось 30,4% валового национального продукта, в 1950 — 37,2%, в 1973 — 41,9%.

Лит.: Рутгайзер В. М., Сфера обслуживания — какой ей быть?, М., 1971; США: сфера услуг в экономике, М., 1971; Теоретические проблемы услуг и непроизводственной сферы при социализме, М., 1972; Правдин Д. И., Непроизводственная сфера: эффективность и стимулирование, М., 1973.

В. М. Рутгайзер.

Сфера рассеяния

Сфера рассеяния, внешний слой атмосферы, из которого происходит ускользание (рассеяние) атмосферных частиц в космическое пространство; то же, что экзосфера.

Сферическая аберрация

Сферическая аберрация, один из типов аберраций оптических систем; проявляется в несовпадении фокусов для лучей света, проходящих через осе-симметрическую оптическую систему (линзу, объектив) на разных расстояниях от оптической оси этой системы (рис.). Фокус параксиального пучка лучей, который проходит через центральную зону системы h0h1, располагается в гауссовой плоскости Oh; фокусы пучков лучей, проходящих через другие кольцевые зоны (h1h2, h2h3 и т. д.), находятся ближе гауссовой плоскости для собирающих (положительных) систем и дальше для рассеивающих (отрицательных) систем. Вследствие С. а. изображение, даваемое параллельным пучком лучей, будет на экране, перпендикулярном оси в точке О, иметь вид не точки, а кружка с ярким ядром и ослабевающим по яркости ореолом. При перемещении экрана вдоль оптической оси размеры этого кружка рассеяния и распределение в нём освещённости меняются. Для некоторого положения экрана кружок рассеяния имеет минимальные размеры (примерно в 4 раза меньше, чем в гауссовой плоскости). Различают продольную и поперечную С. а. Первая измеряется длиной отрезка Оds’ отсчитанной от гауссовой плоскости до фокуса лучей, прошедших через крайнюю зону оптической системы (h4h5 на рис.); поперечная С. а. — радиусом кружка рассеяния Odz' в гауссовой плоскости, определяемым лучами, идущими от крайней зоны h4h5 Так как для собирающих линз Ods' < 0, а для рассеивающих Ods' > 0, то специальным подбором линз в оптической системе можно почти полностью устранить С. а. У одиночных линз со сферическими поверхностями С. а. можно уменьшить, выбирая оптимальное соотношение радиусов кривизны этих поверхностей. При преломления показателе материала линзы n = 1,5 С. а. минимальна, если отношение радиусов равно . Уменьшить С. а. можно, используя оптические элементы с асферическими поверхностями (например, параболическими).

Лит.: Тудоровскиq А. Н., Теория оптических приборов, ч. 1, М.— Л., 1948; Русинов М. М., Техническая оптика, М.—Л., 1961; Волосов Д. С., Фотографическая оптика, М., 1971.

Л. Н. Капорский.

Сферическая астрономия

Сферическая астрономия, раздел астрометрии, разрабатывающий математические методы решения задач, связанных с изучением видимого расположения и движения светил (звёзд, Солнца, Луны, планет, искусственных небесных тел и др.) на небесной сфере. Широко применяется в различных областях астрономии. С. а. возникла в глубокой древности и явилась первым шагом на пути изучения астрономических явлений.

Основным понятием С. а. является небесная сфера. Каждое направление на небесное светило в пространстве изображается на сфере точкой, а плоскость — большим кругом. Применение небесной сферы позволяет значительно упростить математические соотношения между направлениями на небесные светила, сводя сложные пространственные представления к более простым фигурам на поверхности сферы; с этим связано и само название "С. а.".

Для изучения взаиморасположения и движения точек по небесной сфере на ней устанавливают системы координат. В С. а. употребляются горизонтальная, две экваториальные и эклиптическая системы координат (см. Небесные координаты). Установление связи между различными системами координат производится с помощью формул сферической тригонометрии. Поскольку С. а. изучает явления, связанные с видимым суточным вращением небесного свода (то есть видимые движения светил, обусловленные вращением Земли), небесной сфере придают вращение вокруг оси мира с В. на З. с угловой скоростью, равной скорости вращения Земли. Такая кинематическая модель почти точно воспроизводит картину, которая наблюдается на небе с вращающейся Земли. Общие соотношения между горизонтальными и экваториальными координатами дают возможность определить время и азимут восхода и захода небесных светил, моменты их кульминации, элонгации, положение светил в заданные моменты времени и др. Одной из задач С. а. является определение условий, при которых две соответствующим образом выбранные звезды находятся на одинаковой высоте. Эта задача имеет значение для определения географических координат точек земной поверхности из астрономических наблюдений.

Измерение времени. Одной из важных задач С. а. является установление теоретических основ астрономической системы счёта времени. В С. а. рассматриваются единицы времени и связь между ними. В основу измерения времени положены естественные периодические явления — вращение Земли вокруг своей оси и обращение Земли вокруг Солнца. Вращение определяет, в зависимости от выбранной на небесной сфере основной точки (точка весеннего равноденствия, Солнце), звёздные или солнечные сутки. При отсчёте звёздных суток принимают во внимание, что точка весеннего равноденствия вследствие прецессии и нутации не сохраняет постоянного положения на небесной сфере, а перемещается поступательно, совершая одновременно колебания относительно среднего положения. Для счёта солнечных суток вводят понятие среднего Солнца — фиктивной точки, равномерно движущейся по экватору согласованно со сложным видимым движением истинного Солнца по эклиптике. Обращение Земли вокруг Солнца определяет тропический год, величина которого, соответствующая периоду смены времён года, лежит в основе календаря. Так как тропический год не содержит целого числа средних суток, то изменением величины календарного года (365 или 366 дней) добиваются того, чтобы его средняя продолжительность за большой промежуток времени равнялась бы продолжительности тропического года. В астрономии счёт времени ведётся непосредственно в тропических годах, в календарных годах со средней продолжительностью 365, 25 суток или последовательным счётом дней (так называемый юлианский период).

Координаты небесных светил, получаемые непосредственно из наблюдений, искажены в результате действия ряда факторов. Прежде всего сами координатные оси, связанные с осью вращения Земли и направленные на точку весеннего равноденствия, не сохраняют постоянного направления, а вращаются вследствие прецессии и нутации. Из-за аберрации небесные светила видны на небесной сфере несколько смещенными с тех мест, где они были бы в случае неподвижности Земли. Результаты наблюдений искажаются также вследствие рефракции; необходимо учитывать при обработке наблюдений и влияние параллакса. Для освобождения наблюдаемых мест небесных светил от перечисленных искажений и определения их в одной для всех наблюдений системе координат (в качестве такой системы выбирают координатную систему, связанную с положением оси вращения Земли, и точки весеннего равноденствия в некоторый фиксированный момент, например 1900.0 или 1950.0; см. Среднее место звезды) возникает необходимость в редукциях (введении поправок) координат светил, учитывающих влияние прецессии, нутации, аберрации, параллакса и рефракции. Специальные "редукционные величины" для учёта влияния прецессии, нутации и аберрации, а также другие величины, необходимые для обработки астрономических наблюдений, публикуются в астрономических ежегодниках.

Прецессия и нутация. Вследствие прецессии ось Земли медленно (с периодом около 26 000 лет) изменяет своё направление, описывая поверхность конуса. На это движение земной оси накладываются нутационные колебания (см. Нутация). Весьма медленно изменяет своё положение в пространстве также и плоскость эклиптики, с чем связано перемещение точки весеннего равноденствия, служащей начальной точкой отсчёта в ряде систем небесных координат. В результате изменяются координаты светил в экваториальной и эклиптической системах небесных координат.

Аберрация. Видимые положения звёзд на небесной сфере отличаются от их истинных положений вследствие аберрации света, происходящей в результате того, что наблюдатель и небесное светило движутся друг относительно друга. Так, при наблюдениях звёзд принимается в расчёт движение наблюдателя вследствие обращения Земли вокруг Солнца (годичная аберрация) и вследствие её вращения (суточная аберрация). При наблюдениях искусственных спутников Земли вычисляют также аберрацию, обусловленную движением спутника вокруг Земли.

Параллакс. Поскольку наблюдатель перемещается в пространстве из-за вращения Земли и обращения её вокруг Солнца, меняются и направления на небесные светила. Для получения сравнимых величин результаты наблюдений приводятся в первом случае (при наблюдении тел Солнечной системы) к центру Земли, а во втором случае (при наблюдении звёзд) — к центру Солнечной системы, то есть к Солнцу. Величина параллактического смещения зависит от расстояния до небесного светила.

Рефракция. Вследствие преломления света небесных светил в земной атмосфере светила кажутся смещенными в направлении зенита. Величина смещения зависит от показателя преломления воздуха (от температуры, давления и др.) и зенитного расстояния светила. При наблюдениях близких небесных светил (особенно для искусственных спутников Земли) принимают во внимание также смещения вследствие рефракционного параллакса, обусловленные неодинаковым влиянием рефракции на небесные светила, находящиеся в одном направлении от земного наблюдателя, но на разных расстояниях от него.

Результаты наблюдений небесных светил могут быть использованы для практических целей — определения географических координат, азимутов и времени, а также для теоретических исследований и других целей — лишь после освобождения их от влияния всех перечисленных искажающих факторов. Для вычисления соответствующих редукций пользуются так называемыми астрономическими постоянными, то есть численными характеристиками описанных явлений. Определение астрономических постоянных из данных астрономических наблюдений является задачей, связывающей С. а. с фундаментальной астрометрией и небесной механикой, а также с изучением строения Земли. С. а. имеет широкое и непосредственное применение в практической астрономии. В предмет С. а. также входят вопросы, связанные с определением координат на поверхности тел Солнечной системы, в частности на поверхности Луны, требующие учёта либрации Луны. Последняя проблема стала особенно актуальной с началом эры межпланетных перелётов и высадкой космонавтов на Луну. Кроме того, в С. а. изучаются способы вычисления солнечных и лунных затмений, а также других аналогичных явлений (покрытий звёзд Луной, прохождений планет по диску Солнца и т. п.).

Лит.: Блажко С. Н., Курс сферической астрономии, 2 изд., М., 1954; Редукционные вычисления в астрономии, в кн.: Астрономический ежегодник СССР на 1941 г., М.— Л., 1940 (Приложение, с. 379—432); Казаков С. А., Курс сферической астрономии, 2 изд., М.—Л., 1940; Куликов К. А., Курс сферической астрономии, М., 1969; Загребин Д. В., Введение в астрометрию, М.— Л., 1966; Newcomb S., A compendium of spherical astronomy..., N. Y.— L., 1906; Chauvenet W., A manual of spherical and practical astronomy..., 5 ed., v. 1, Phil., 1891.

Сферическая геометрия

Сферическая геометрия, математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается так называемый большой круг. Через каждые две точки А и В на сфере (рис., 1), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг. Большие круги сферы являются её геодезическими линиями и поэтому в С. г. играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях С. г. также отлична от планиметрии; так, например, в С. г. не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.

Длину отрезка АВ на сфере, то есть дугу AmB (рис., 1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом AOB. Угол ABC (рис., 2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом A' BC' между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения В или двугранным углом, образованным плоскостями OBA и OBC.

При пересечении двух больших кругов на сфере образуется четыре сферических двуугольника (рис., 3). Сферический двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле: S = 2R2A, где R — радиус сферы, А — угол двуугольника, выраженный в радианах.

Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис., 4); зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называют эйлеровыми). Стороны a, b, с сферического треугольника измеряются плоскими углами трёхгранного угла OABC (рис., 5), углы А, В, С треугольника — двугранными углами того же трёхгранного угла. Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется ещё четвёртый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).

Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует, что равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники AC' С и BCC' на рис., 6.

Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2p. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3pи больше p. Разность s –p=e, где s — сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле: S = R2e, где R — радиус сферы. О соотношении между углами и сторонами сферического треугольника см. Сферическая тригонометрия.

Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются (рис., 7) некоторый большой круг QQ’ (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра PP' сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов PAP', выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые её круги, параллельные экватору,— параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол q = РОМ (полярное расстояние, в качестве второй — угол j = AON между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М (долгота, отсчитываемая против часовой стрелки).

Введение координат на сфере позволяет проводить исследование сферических фигур аналитическими методами геометрии. Так, два уравнения

q = f (t), j = g (t)

или одно уравнение

F (q, j) = 0

между координатами q и j определяют некоторую линию на сфере. Длина L дуги M1M2 этой линии вычисляется по формуле

где t1 и t2 значения параметра t, соответствующие концам M1 и M2 дуги M1M2 (рис., 8).

Лит.: Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.— М., 1948; Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.

Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия, математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия). Пусть А, В, С — углы и а, b, с — противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами С. т.:

(1)

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos А, (2)

cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a, (21)

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А, (3)

sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a; (31)

в этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R — радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ® В ® С ® А (а ® b ® с ® а), можно написать другие формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90°, а — гипотенуза, b, с — катеты) формулы С. т. упрощаются, например:

sin b = sin a sin В, (1')

cos a = cos b cos c, (2')

sin a cos B = cos b sin c. (3')

Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А)по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С, 90° - b, 90° - с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,

cos а = sin (90° - с) sin (90° - b)

или, после преобразования,

cos а = cos b cos с (формула 2').

При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:

,

,

,

.

При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:

(1’’)

(3’’)

или более точные формулы:

(1’’’)

(3’’’)

С. т. возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1')—(3'), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (21)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (31)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 — начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 — начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 — начало 19 вв.) и др.

Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.